Was kann man überhaupt rechnen

Ich war vorgestern, also am 14.08.2012 in Frankfurt bei der Vorstellung der Wolfram-Financial-Platform. Hier nochmal einen Dank an die Additive-GmbH für die Veranstaltung. Für alle Leute, die sich mit Finanzen, Börsenanalysen, Risikobewertung usw. beschäftigen, sicherlich eine hoch interessante Möglichkeit der Datensammlung und Auswertung. Unter vielen anderen Punkten wurde dabei die Möglichkeit aufgezeigt, mittels Grafikkarte, d.h. z.B. CUDA entsprechende Berechnungen stark zu parallelisieren. Das ist sicherlich extrem interessant, da man mit vergleichsweise „schmalem Taler“ in gewissem Maße Super-Computer-Computing bekommt. Nun habe ich mich mit dieser Technologie schon geraume Zeit beschäftigt, also nichts wirklich neues gehört. Aber ich habe eine Frage in den Raum geworfen, die sicherlich nicht so ohne weiteres abgetan werden kann. Die Recheneinheiten von aktuellen PCs sowie die doppelt-genauen Recheneinheiten von neueren CUDA-Grafikkarten haben eine maximale Mantissenbreite von 15-16 Stellen (klingt komisch, aber so isses, 15 und eine halbe Stelle).
Das wirft ein interessantes Problem auf: Wie weit kommt man damit denn, wenn man Euro rechnet? Rein theoretisch kann man mit einer fünzehnstelligen Zahl neun Billionen Euro bis auf den Cent genau darstellen. Nur darf man dann nicht mehr damit rechnen, denn dann verliert man bei den allermeisten Rechenoperationen einige Ziffern auf Grund von Rundungsfehlern. Das heißt, der Computer kann die Zahlen zwar verwalten, aber er ist nicht mehr in der Lage damit rechnen, ohne dass falsche Ergebnisse dabei rauskommen.
Also ok, arbeiten wir also eine Nummer kleiner. Wenn wir nur bis 999 Milliarden gehen, dann gewinnen wir eine Ziffer, die für die Rundungsfehler herhalten kann, also einen zehntel Cent. Wirklich weit kommen wir damit jedoch auch nicht, denn wenn man das mal ausprobiert, dann merkt man sehr schnell, dass sich diese Rundungs-Reserveziffer sehr schnell aufbraucht und die Ergebnisse werden wieder ungenau. Um wenigsten halbwegs genau über einige Schritte hinweg rechnen zu können, braucht man zwei, besser drei Ziffern. Bei größeren Berechnungen wird es dann zwar noch immer fehlerhaft, aber wenigstens kleine Berechnungen kann man damit durchführen. Und hier wird es spannend. Wenn man nämlich drei Ziffern Reserve für die Eliminierung von Rundungsfehlern vorhält, dann kann man mit einem PC nur Beträge bis zu 10 Milliarden minus 1 Cent rechnen (also 9.999.999.999,99 €).
Welch grober Unsinn heraus kommt, wenn man den Rechenbereich eines PCs verläßt, kann man in meinem Blogeintrag zu Excel-Rechenfehlern nachlesen.
Welchen Schluss kann man daraus ziehen? Etwas zynisch und sicherlich nicht ganz zutreffend könnte man z.B. sagen, dass eine Staatenpleite in Europa schlicht deswegen undenkbar ist, weil sie von keinem Politiker mit Excel nachgerechnet werden kann.
Zugegebenermaßen ist das zwar kein Problem des „normalen Alltags“, aber es ist eben nicht nur akademischer Natur. Wenn man solch große Zahlen rechnen möchte, dann braucht man eben Profi-Werkzeuge, die nicht auf die Rechengenauigkeit eines PCs angewiesen sind, sondern genauer Rechnen können. Mit Wolfram-Mathematica geht das ohne weiteres, man darf halt nur nicht die CUDA.Technik dabei benutzen. Mit INVEP geht das übrigens auch, denn INVEP hat für derartig große Zahlen eigene spezielle Rechenbibliotheken.